高三期末-高三期末數學之增減函數

2019-01-15 21:57:14 　來源：網絡整理

　　高三期末-高三期末數學之增減函數！元旦過后就是緊張的期末診斷了。大家已經是高三的苦孩子了，期末復習的時候，不要只考慮期末診斷，更要準備高考，為了高考復習！函數是高考可能會考內容，愛智康助力期末診斷，下面是高三期末-高三期末數學之增減函數希望對同學們有幫助！

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　　高三期末-高三期末數學之增減函數(一)

　　函數的單調性(增減性)是函數的基本性質之一，是高中數學必須掌握且能熟練運用的基礎知識。函數中函數值的變化方向與自變量的變化方向密切相關，當自變量的變化方向與函數值的變化方向一致時，函數圖象(曲線)是下降的，或者說是遞減的;反之，是上升的，或者說是遞增的，函數的這種性質稱為單調性。函數的單調性是函數在某個區(qū)間或整個定義域上的性質。利用函數的單調性可以求函數在某個區(qū)間上的較大(小)值、可以比較兩個或多個函數值的大小、還可以解不等式及判斷函數在某個區(qū)間內的零點個數。但在解決這些問題之前必須確定函數的單調性，即函數在定義域區(qū)間內是增函數還是減函數。下面介紹幾種判斷函數增減性的方法。

　　一、利用函數單調性的定義判別

　　設函數f(x)的定義域為I：

　　如果對于定義域I內某個區(qū)間A上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1

　　在此定義中必須注意：

　　1.證明函數的單調性，必須嚴格按照單調性的定義進行，x1，x2具有三個特征：一是任意性，也就是說，x1，x2是任取的，證明單調性時不能用兩個特殊值隨意替換x1，x2;二是x1，x2有大小，通常規(guī)定x1

　　2.這個區(qū)間A可以是定義域I本身，也可以是定義域I的某個真子集。

　　3.不是所有的函數都具有單調性。

　　如函數，它的定義域為R，但不具備單調性;又如Y=3x+2，x∈N+，它的定義域不是區(qū)間，也不能說它在定義域上具有單調性。

　　二、利用函數值與自變量的變化趨勢判別或利用函數圖象的“走勢”判別

　　當函數值與自變量的變化趨勢時，函數為函數。

　　函數圖象(曲線)“從左到右走坡路”，函數為函數。

　　三、利用函數單調性的運算性質判別

　　若函數f(x)，g(x)在定義域區(qū)間A上具有單調性，則在區(qū)間A上具有下列性質：

　　①f(x)與f(x)+C(C為常數)具有相同的單調性;

　　②當a>0時，f(x)與af(x)具有相同的單調性;當a<0時，f(x)與af(x)具有相反的單調性;

　　③若f(x)恒不等于零，當k>0時，f(x)與具有相反的單調性;單k<0時，f(x)與具有相同的單調性;

　　④當f(x)與g(x)都是函數時，則f(x)+g(x)也是函數;

　　⑤若f(x)與g(x)都是函數時。

　　當f(x)>0且g(x)>0時，則f(x) g(x)是函數;

　　當f(x)<0且g(x)<0時，則f(x) g(x)是函數。

　　例判斷函數f(x)=5x3- 在(0，+∞)上的單調性。

　　解：∵5x3在(0，+∞)上是增函數;- 在(0，+∞)上是增函數。

　　∴f(x)=5x3- 在(0，+∞)上也是增函數。

　　高三期末-高三期末數學之增減函數(二)

　　四、利用函數奇(偶)性的對稱性質判別

　　因為函數的圖象關于成圖形，所以函數在原點兩側的對稱區(qū)間上具有的單調性。即函數f(x)在區(qū)間[a，b]與[-b，-a]上的單調性。(0≤a

　　例2 設f(x)在R上是偶函數，在區(qū)間(-∞，0)上遞增，且有f(2a2+a+1)

　　解：∵f(x)在R上是偶函數，在區(qū)間(-∞，0)上遞增。

　　∴f(x)在區(qū)間(0，+∞)上遞減。

　　點評：解此題的關鍵是根據2a2+a+1>0，2a2-2a+3>0恒成立的性質，必須確定f(x)在(0，+∞)上的單調性，而偶函數f(x)在原點兩側的對稱區(qū)間(-∞，0)與(0，+∞)上的單調性相反。

　　五、復合函數單調性的判斷

　　1.若一個復合函數由多個初等函數復合而成，則這個復合函數的單調性由復合成此函數的這多個初等函數中減函數的個數決定：當初等函數中減函數的個數為奇數時，復合函數為減函數;當初等函數中減函數的個數為偶數時，復合函數為增函數。即“偶增奇減”

　　2.當復合函數y=f[g(x)]由兩個初等函數y=f(u)，u=g(x)復合而成時，其單調性為：當y=f(u)，u=g(x)同為增函數或同為減函數時，y=f[g(x)]為增函數：當y=f(u)，u=g(x)為一增函數一減函數時，y=f[g(x)]為減函數。即“同增異減”

　　例求函數y=log2(x2+3x+2)的單調性

　　解：由x2+3x+2>0得x<―2或x>―1

　　∴函數定義域為(-∞，―2)∪(―1，+∞)

　　又∵y=log2(x2+3x+2)由函數y=log2u(u>0)與u=x2+3x+2(x<―2或x>―1)復合而成

　　當x∈(-∞，―2)時，u=x2+3x+2為減函數，也滿足u>0，y=log2u為增函數。

　　則y=log2(x2+3x+2)為減函數;

　　當x∈(―1，+∞)時，u=x2+3x+2為增函數，也滿足u>0，y=log2u為增函數。

　　則y=log2(x2+3x+2)為增函數。

　　∴y=log2(x2+3x+2)的單調遞減區(qū)間為(-∞，―2);單調遞增區(qū)間為(―1，+∞)

　　六、導函數的應用

　　設函數y=f(x)在區(qū)間(a，b)內可導

　　① 如果恒有f`(x)>0，則函數f`(x)在(a，b)上為增函數;

　　② 如果恒有f`(x)<0，則函數f`(x)在(a，b)上為減函數;

　　③ 如果f`(x)在區(qū)間(a，b)上遞，則在該區(qū)間上有。

　　求可導函數的單調區(qū)間：

　　①求f`(x) ②解不等式 ③確定結論：的解集為單調遞區(qū)間。

　　注意：當f`(x)在某個區(qū)間內個別點處為零，在其余各點處都為時，f`(x)在這區(qū)間上仍是單調遞的，但是并不是f`(x)為函數的充分條件，而是必要條件。

　　例設f`(x)=ax+ (a>0)

　　①判斷f`(x)在(0，+∞)上的單調性;

　　②設f`(x)在0

　　高三期末-高三期末數學之增減函數(三)

　　已知函數定義域是不等于0的一切實數。對定義域內的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2) 且當x大于1時，f(x)大于0，f(2)=1. 證明f(x)在0到正無戶定膏剮薇溉疙稅躬粳窮上為增。并解不等式f(2x^2-1)小于2

　　(1)(A)令x1=x2=1,由題設得：f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1).===>f(1)=0.(B)設x>0.則0=f(1)=f[x*(1/x)=f(x)+f(1/x).===>f(1/x)=-f(x).(x>0)(C)設0x2/x1>1.===>f(x2/x1)>0.又f(x2/x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2)-f(x1).故f(x2)-f(x1)>0.===>當0f(-1)=0.===>f(-x)=f[(-1)*x]=f(-1)+f(x)=f(x).===>f(-x)=f(x).即函數f(x)為偶函數，(B)由題設知f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2.即f(4)=2.故原不等式可化為：f(2x^2-1)0時，有0<2x^2-1<4.===>√2/2<|X|<√10/2.===>戶定膏剮薇溉疙稅躬粳;-√10/2-√2/2

　　已知f(x)是定義在R上的增函數，設F(X)=f(x)-f(a-x)

　　證明：函數F(x)的圖象關于點(a/2，0)成中心對稱。

　　設k是任一實數

　　F(a/2+k)=f(a/2+k)-f(a-a/2-k)=f(a/2+k)-f(a/2-k)

　　F(a/2-k)=f(a/2-k)-f(a-a/2+k)=f(a/2-k)-f(a/2+k)

　　F(a/2+k)=-F(a/2-k)

　　即F(a/2+x)=-F(a/2-x)

　　所以函數F(x)的圖象關于點(a/2，0)成中心對稱。

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